一、定义

这里引用《CINTA》里的定义。

image-20240124231122361

说白了，就是给定一个g，整个群都可以由g生成。但群不一定是有限的。想象一下Z\Z就是这种情况，而就是这种情况，而\Q和R\R则找不到生成元。

有限阶的循环群就更特殊了，一般是模一个数。

二、栗子

哪些是循环群？如何判断是否是循环群。

1.找到生成元
2.同构于一个循环群
3.循环群的子群也是循环群（性质）

Z\Z是循环群，nZn\Z是循环群。

ZnZ_n是循环群。

并且以上默认都为加法群。

Zp∗Z_p^*是循环群，举个栗子

Z7∗\Z_7^*是循环群，群元素有1.2.3.4.5.6，其中只有3和5可以生成此群，能找到生成元。

⟨1⟩生成(1)⟨2⟩生成(2,4,6)⟨3⟩生成(3,2,6,4,5,1)⟨4⟩生成(4,2,1)⟨5⟩生成(5,4,6,2,3,1)⟨6⟩生成(6,1)\langle1\rangle生成(1)\\ \langle2\rangle生成(2,4,6)\\ \langle3\rangle生成(3,2,6,4,5,1)\\ \langle4\rangle生成(4,2,1)\\ \langle5\rangle生成(5,4,6,2,3,1)\\ \langle6\rangle生成(6,1)

三、有限阶循环群

由以上栗子得到Zp∗Z_p^*是循环群，因为模素数p，若模数是一个合数，结果会？

四、循环群的子群

在抽象代数中，循环群的每个子群都是循环的。此外，对于n阶有限循环群，每个子群的阶数都是n的因数，并且每个因数恰好有一个子群。这个结果被称为循环群的基本定理。

还有一点，对于每一个因数t，都有确定的子群H≤G且∣H∣=t，并且H=⟨gnt⟩对于每一个因数t，都有确定的子群H\leq G且|H|=t，并且H=\langle g^{\frac{n}{t}}\rangle，即子群的生成元得到。

这里注意，根据上述栗子，易知子群的阶变了，但是模数没变。

Z7∗Z_7^*的阶为6，它的因数有1.2.3，子群中，⟨1⟩\langle1\rangle的阶是1，⟨2⟩、⟨4⟩\langle2\rangle、\langle4\rangle的阶是3，⟨3⟩、⟨5⟩\langle3\rangle、\langle5\rangle的阶是6，的阶是6，⟨6⟩\langle6\rangle的阶是2。它们都是循环群。

为什么要写这些呢？因为循环群性质涉及到很多，就比如解离散对数的Pohlig-Hellman算法。

参考

1.《CINTA》
2.如何证明一个群是循环群_证明循环群-CSDN博客
3.https://en.wikipedia.org/wiki/Subgroups_of_cyclic_groups#cite_note-1
4.https://risencrypto.github.io/PohligHellman/
5.https://math.stackexchange.com/questions/4407728/intuition-for-fundamental-theorem-of-cyclic-groups